Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx在点x₀处取得极小值-4，使其导数f'（x）＞0的x的取值范围为（1，3），求：
（1）f（x）的解析式；
（2）x∈[2，3]，求g（x）=f'（x）+6（m-2）x的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据导数f'（x）＞0的x的取值范围为（1，3），即可得到b，c用a来表示，利用f′（x）即可得出单调性，再根据f（x）在点x₀处取得极小值-4，即可得到a；
（2）利用（1）即可得到g（x）的解析式，通过对m分类讨论，利用二次函数的单调性即可得出最值．

解答：解：（1）∵f′（x）=3ax²+2bx+c＞0的x的取值范围为（1，3），
∴

a＜0 - 2b 3a =1+3 c 3a =1×3

，∴b=-6a，c=9a，
∴f′（x）=3ax²-12ax+9a=3a（x²-4x+3）=3a（x-1）（x-3），
令f′（x）＞0，解得1＜x＜3；令f′（x）＜0，解得x＞3，或x＜1．
列表如下：
由表格可知：函数f（x）在x=1处取得极小值，∴f（1）=-4，即a-6a+9a=-4，解得a=-1．
∴f（x）=-x³+6x²-9x．
（2）由（1）可得：g（x）=-3x²+12x-9+6（m-2）x
=-3x²+6mx-9
=-3（x-m）²+3m²-9．
①当2≤m≤3时，函数g（x）在区间[2，3]上有：g（x）_max=g（m）=-3（m²-2m²+3）=3m²-9．
②当m＜2时，g（x）在[2，3]上单调递减，∴g（x）_max=g（2）=12m-21．
③当m＞3时，g（x）在[2，3]上单调递增，∴g（x）_max=g（3）=18m-36．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、二次函数的单调性、分类讨论思想方法等是解题的关键．