Question

已知等边△ABC的边长为2，沿△ABC的高AD将△BAD折起到△B′AD，使得B′C=

2

，则此时四面体B′-ADC的体积为

 

，该四面体外接球的表面积为

 

．

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：计算题,空间位置关系与距离,球

分析：由题意可得，三棱锥B-ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰直角三角形，可得AD⊥底面BCD，由三棱锥的体积公式计算即可得到；它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的体积即可．

解答： 解：根据题意可知三棱锥B-ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，
由BD=CD=1，B′C=

2

，则底面是等腰直角三角形，
则AD⊥底面BCD，AD=

3

，
即有四面体B′-ADC的体积为

1

3

×

3

×

1

2

×1×1=

3

6

；
它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，
求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，
三棱柱ABC-A₁B₁C₁的中，底面边长为1，1，

2

，
由题意可得：三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，
说明中心就是外接球的球心，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁的外接球的球心为O，外接球的半径为r，
球心到底面的距离为

3

2

，
底面中心到底面三角形的顶点的距离为

2

2

，
∴球的半径为r=

( 3 2 )2+( 2 2 )2

=

5

2

．
四面体ABCD外接球体积为：

4π

3

r³=

4π

3

×（

5

2

）³=

5 5

6

π．
故答案为：

3

6

，

5 3

6

π．

点评：本题考查线面垂直的判定定理和三棱锥的体积公式和球的体积公式的运用，同时考查空间想象能力，计算能力；三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，是本题解题的关键，仔细观察和分析题意，是解好数学题目的前提．