Question

3．椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左、右焦点分别为${F_1}，F_2^{\;}$，上、下顶点分别为B₁，B₂，右顶点为A，直线AB₁与B₂F₁交于点D．若2|AB₁|=3|B₁D|，则C的离心率等于$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 由2|AB₁|=3|B₁D|，得：$\frac{{|A{B_1}|}}{|AD|}=\frac{3}{5}$，根据三角形相似得：$\frac{a}{{a-{x_0}}}=\frac{3}{5}=\frac{b}{y_0}$，则${x_0}=-\frac{2}{3}a，{y_0}=\frac{5}{3}b$，代入即可求得e的值．

解答 解：如图所示，设D（x₀，y₀），由2|AB₁|=3|B₁D|，得：$\frac{{|A{B_1}|}}{|AD|}=\frac{3}{5}$，
根据三角形相似得：$\frac{a}{{a-{x_0}}}=\frac{3}{5}=\frac{b}{y_0}$，求得：${x_0}=-\frac{2}{3}a，{y_0}=\frac{5}{3}b$，
又直线B₂F₁的方程为$\frac{x}{-c}+\frac{y}{-b}=1$
将点$D（-\frac{2}{3}a，\frac{5}{3}b）$代入，得：$\frac{{-\frac{2}{3}a}}{-c}+\frac{{\frac{5}{3}b}}{-b}=1，\frac{2}{3e}=1+\frac{5}{3}=\frac{8}{3}$，
∴$e=\frac{2}{3}×\frac{3}{8}=\frac{1}{4}$．

故答案为：$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查椭圆的离心率，考查三角形的相似的性质，考查数形结合思想的应用，属于中档题．