Question

（2011•东城区二模）已知sin(A+

π

4

)=

7 2

10

，A∈(

π

4

，

π

2

)．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求函数f(x)=cos2x+

5

2

sinAsinx的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用同角三角函数基本关系式求cos(A+

π

4

)，注意对角的范围的判断，再利用两角差的余弦公式将cosA变换为cos[(A+

π

4

)-

π

4

]，代入计算即可
（Ⅱ）先将所求函数变换为复合函数f（x）=1-2sin²x+2sinx，再利用三角函数的有界性及配方法求此复合函数的值域即可

解答：解：（Ⅰ）因为

π

4

＜A＜

π

2

，且sin(A+

π

4

)=

7 2

10

，
所以

π

2

＜A+

π

4

＜

3π

4

，cos(A+

π

4

)=-

2

10

．
因为cosA=cos[(A+

π

4

)-

π

4

]=cos(A+

π

4

)cos

π

4

+sin(A+

π

4

)sin

π

4

=-

2

10

•

2

2

+

7 2

10

•

2

2

=

3

5

．
所以cosA=

3

5

．                 
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sinA=

4

5

．
所以f(x)=cos2x+

5

2

sinAsinx=1-2sin²x+2sinx=-2(sinx-

1

2

)2+

3

2

，x∈R．
因为sinx∈[-1，1]，所以，当sinx=

1

2

时，f（x）取最大值

3

2

；
当sinx=-1时，f（x）取最小值-3．
所以函数f（x）的值域为[-3，

3

2

]．

点评：本题考察了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦公式，通过角变换求三角函数值的技巧，复合函数求值域的方法