Question

13．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（a＞1）的左焦点为F，上顶点为B．
（1）若直线FB的一个方向向量为（1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），求实数a的值；
（2）若a=$\sqrt{2}$，直线l：y=kx-2与椭圆C相交于M、N两点，且$\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{FN}$=3，求实数k的值．

Answer 1

分析 （1）利用直线FB的一个方向向量为（1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），求出c，即可求实数a的值；
（2）直线l：y=kx-2与椭圆C联立，利用韦达定理，结合$\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{FN}$=3，建立方程，即可求实数k的值．

解答 解：（1）由题意，F（-c，0），B（0，1），
∵直线FB的一个方向向量为（1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
∴$\frac{1}{c}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴c=$\sqrt{3}$，
∴a=$\sqrt{1+3}$=2；
（2）椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，F（-1，0）
直线l：y=kx-2与椭圆C联立可得（1+2k²）x²-8kx+6=0．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）则x₁+x₂=$\frac{8k}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{6}{1+2{k}^{2}}$
所以y₁y₂=$\frac{4-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$．
故$\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{FN}$=（x₁+1，y₁）•（x₂+1，y₂）=$\frac{11+8k}{1+2{k}^{2}}$=3，
∴3k²-4k-4=0，
∴k=2或-$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，属于中档题．