Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，3AD＝DC＝3，AB＝2，E是DC上的点，且满足DE＝1，连结AE，将△DAE沿AE折起到△D₁AE的位置，使得∠D₁AB＝60°，设AC与BE的交点为O.

(1)试用基向量

(2)求异面直线OD₁与AE所成角的余弦值；

(3)判断平面D₁AE与平面ABCE是否垂直？并说明理由．

Answer 1

解：(1)∵AB∥CE，AB＝CE＝2，

∴四边形ABCE是平行四边形，∴O为BE的中点．

(2)设异面直线OD₁与AE所成的角为θ，

，

∴cos θ＝.

故异面直线OD₁与AE所成角的余弦值为.

(3)平面D₁AE⊥平面ABCE.证明如下：

取AE的中点M，

又AE∩AB＝A，AE、AB⊂平面ABCE，

∴D₁M⊥平面ABCE.

∵D₁M⊂平面D₁AE，

∴平面D₁AE⊥平面ABCE.