Question

15．过抛物线y²=2px定点（p＞0）上一定点P（x₀，y₀）（y₀≠0）分别作斜率为k和-k的直线l₁，l₂，设l₁，l₂分别与抛物线y²=2px交于A，B两点，证明：直线AB的斜率为定值．

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）利用点差法，可得k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{2p}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，k_AP=$\frac{2p}{{y}_{1}+{y}_{0}}$，k_BP=$\frac{2p}{{y}_{2}+{y}_{0}}$，再由l₁，l₂斜率相反，得到答案．

解答 证明：∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在抛物线y²=2px上，
∴y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，
两式相减得：y₁²-y₂²=2p（x₁-x₂），
∵x₁≠x₂，
∴k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{2p}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
同理，k_AP=$\frac{2p}{{y}_{1}+{y}_{0}}$，k_BP=$\frac{2p}{{y}_{2}+{y}_{0}}$，
∵k_AP=-k_BP，
∴$\frac{2p}{{y}_{1}+{y}_{0}}$=-$\frac{2p}{{y}_{2}+{y}_{0}}$，
∴y₁+y₂=-2y₀，
∴k_AB=$\frac{2p}{-2{y}_{0}}$=$-\frac{p}{{y}_{0}}$

点评 本题考查直线与抛物线的性质和应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答