Question

【题目】如图，在四棱锥中，平面，，≌，，是线段的中点．

（1）求证：∥平面；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：建立空间直角坐标系，给出相应点坐标，得平面PAB的法向量为，由，即可得∥平面

求出平面的一个法向量，平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求出二面角的余弦值；

解析：（1）证明：以B为坐标原点，BA所在的直线为x轴，BC所在的直线为y轴，过点B且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系如图所示．

则B(0,0,0)，C(0，，0)，P(1,0,2)，D，A(1,0,0)，E，∴，，．

显然平面PAB的法向量为，由，平面，∴∥平面.

（2）由（1）知，，，设平面的法向量为，则，取，则,∴为平面的一个法向量．同理：平面的法向量为

∴，故二面角的余弦值为.