Question

已知数列{a_n}的首项是A₁=5,前n项和为S_n,且S_n+1=2S_n+n+5(n∈N^*).? 

(1)证明数列{a_n+1}是等比数列;?

(2)令f(x)=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ,求函数f(x)在点x=1处的导数f′(1),并比较2f′(1)与23n²-13n的大小.

Answer 1

解析:(1)利用a_n与S_n的关系求出a_n+1 =2a_n+1,变形成a _n+1+1=2(a_n+1),所以{a_n+1}是等比数列.(2)求导,作差,因式分解分类讨论.?

(1)证明:由已知S_n+1=2S_n+n+5.?

所以n≥2时,S_n=2S_n-1+n+4.?

两式相减,得?

S_n+1-S_n=2(S_n-S_n-1)+1,?

即a_n+1=2a_n+1,从而a_n+1+1=2(a_n+1).??

当n=1时,S₂=2S₁+1+5,所以a₁+a₂=2a₁+6.?

又a₁=5,所以a₂=11.从而a₂+1=?2(a₁+1).??

故总有a_n+1+1=2(a_n+1),n∈N^*.?

又因为a₁=5,所以a_n+1≠0,从而=2,?

即{a_n+1}是以a₁+1=6为首项,2为公比的等比数列.?

(2)解析:可知2f′(1)-(23n²-13n)=12(n-1)·2ⁿ-12(2n²-n-1)=12(n-1)·?2ⁿ-12(n-1)(2n+1)=12(n-1)［2ⁿ-(2n+1)］.(*)?

当n=1时,(*)式=0,所以2f′(1)=23n²-13n;?

当n=2时,(*)式=-12＜0,所以2f′(1)＜23n²-13n;?

当n≥3时,n-1＞0.又2ⁿ=(1+1)ⁿ=C⁰_n+C¹_n+…+C^n-1_n+Cⁿ_n≥2n+2＞2n+1,所以(n-1)［2ⁿ-(2n+1)］＞0,即(*)式＞0.从而2f′(1)＞23n²-13n.?

用二项式定理证明(2)难度不大,但在特定的解题过程中,想到利用二项式定理来证明,这个念头难得.