Question

【题目】如图，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率是，过点P(0，1)的动直线l与椭圆相交于A，B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2.

（1）求椭圆E的方程；

（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得＝恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根据题意椭圆过点.，在由离心率是，列方程组求解.

（2）根据特殊直线位置，先确定点Q在y轴上，由斜率不存在确定点的坐标，然后再证明斜率存在时的情况也成立。.

（1）因为过点P(0，1)的动直线l与椭圆相交于A，B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2，

所以椭圆过点.，

所以，

解得，

所以椭圆得方程为：.

（2）当l平行于x轴，设直线与椭圆相交于C，D，两点，如果存在Q点满足条件，

则有＝，即，

所以Q点在y轴上，可设Q的坐标为，

当 l垂直于x轴时，设直线与椭圆相交于M，N，两点，如果存在Q点满足条件，

则有＝，，

解得或

所以若存在不同于点P的顶点Q满足条件，则Q点的坐标为

当l不平行于x轴，当 l不垂直于x轴时，

设直线方程为，

与椭圆方程联立，消去y得，

，

又因为点B关于y轴的对称点的坐标为，

又，

且，

所以，则三点共线，

所以＝.

故存在存在与点P不同的定点Q，使得＝恒成立.