Question

4、已知正三棱锥两个相邻侧面所成二面角为θ，那么θ的取值范围（　　）

A、60°＜θ＜180°

B、θ＜60°

C、θ＞90°

D、θ＞90°或θ＜60°

Answer 1

分析：假设顶点无限远离，那么三个侧面都垂直于底面，这是最小极限，此时三棱锥有限底面积，无限高，看似是三棱柱，底边的夹角就是面的夹角，所以夹角为60°；
假设顶点无限趋近于底面的中心，那么这3个侧面就趋向一个平面，这是最大极限，此时三棱锥有限高，无限底面积，看似是平面，那么夹角180°．

解答：解：
1、当此正三棱锥的高无穷大时，则三棱锥的形状就近似为一个三棱柱，那么三个侧面都垂直于底面，底边的夹角就是面的夹角，故任意两个相邻的侧面所形成的二面角为60°；
2、当此正三棱锥的高无穷小时，则顶点就接近为底面正三角形的中心，那么这3个侧面就趋向一个平面，故任意两个相邻的侧面所形成的二面角为180°．
所以若正三棱锥两个相邻侧面所成二面角为θ，那么θ的取值范围是：60°＜θ＜180°．
故选A．

点评：本小题主要考查棱锥的结构特征，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．