Question

“点动成线，线动成面，面动成体”．如图，x轴上有一条单位长度的线段AB，沿着与其垂直的y轴方向平移一个单位长度，线段扫过的区域形成一个二维方体（正方形ABCD），再把正方形沿着与其所在的平面垂直的z轴方向平移一个单位长度，则正方形扫过的区域形成一个三维方体（正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁）．请你设想存在四维空间，将正方体向第四个维度平移得到四维方体，若一个四维方体有m个顶点，n条棱，p个面，则m，n，p的值分别为（　　）

A．16，32，24

B．16，32，20

C．16，24，20

D．24，48，36

Answer 1

分析：从线段平移形成正方形，再到正方形平移得到正方体的过程中，我们可以发现：点平移后可以得到一个新的点，平移的过程可形成一条新的棱；线段平移后可得到一条新的棱，平移的过程可以形成一个新的面；面平移后可得到一个新的面，平移的过程可形成一个三维体．得到结果．

解答：解：依题意，线段AB平移到CD位置后，可形成正方形ABCD，它有四个顶点、四条棱（边）、一个面；
正方形ABCD平移到正方形A₁B₁C₁D₁位置后，可形成正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，它有8个顶点、12条棱、6个面；
把正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁沿着与x轴、y轴、z轴都垂直的第四维方向进行平移得到四维方体后，
原来的8个顶点在平移后形成新的8个顶点，所以四维方体就共有8+8=16个顶点；
原先的8个顶点在平移的过程又形成新的8条棱，所以四维方体就共有12+12+8=32条棱；
正方体的12条棱在平移的过程都会形成一个新的面，
∴四维方体就共有6+6+12=24个面；正方体的6个面在平移的过程中又各会形成一个正方体，
∴四维方体中就包含有1+1+6=8个正方体．
故选A

点评：本题考查利用类比推理来说明空间中点线面之间的形成关系，解题的关键是理解点线面之间的：点动成线，线动成面，面动成体．