Question

【题目】某企业接到生产3000台某产品的A，B，C三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2,2,1（单位：件）.已知每个工人每天可生产A部件6件，或B部件3件，或C部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比，比例系数为k（k为正整数）.

（1）设生产A部件的人数为x，分别写出完成A，B，C三种部件生产需要的时间；

（2）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案.

Answer 1

【答案】

【解析】（1）设完成A,B,C三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为

由题设有

其中均为1到200之间的正整数.（3分）

（2）完成订单任务的时间为

其定义域为

易知，为减函数，为增函数.

注意到于是

①当时， 此时，

由函数的单调性知，当时取得最小值，解得.

由于.

故当时完成订单任务的时间最短，且最短时间为.（6分）

②当时， 由于为正整数，故，

此时.

记，易知为增函数，则

.

由函数的单调性知，当时取得最小值，解得.由于

此时完成订单任务的最短时间大于.（9分）

③当时， 由于为正整数，故，

此时

由函数的单调性知，当时取得最小值，解得.

类似①的讨论，此时完成订单任务的最短时间为，大于.

综上所述，当时，完成订单任务的时间最短，此时，生产A，B，C三种部件的人数分别为44,88,68.