Question

（2010•宿松县三模）已知函数f（x）=log_a+2[ax²+（a+2）x+a+2]有最值，则a的取值范围是（　　）

• A．(-2，-1)∪(-1，0)∪(

  2

  3

  ，+∞)
• B．(-2，0)∪(

  2

  3

  ，+∞)
• C．(-2，

  2

  3

  )∪(

  2

  3

  ，2)∪(2，+∞)
• D．（-2，+∞）

Answer 1

分析：令u（x）=ax²+（a+2）x+a+2，转化为u（x）在定义域上能取得最值，结合二次函数图象与性质求解．

解答：解：由已知，须a+2＞0，且a+2≠1．即a＞-2，且a≠-1．
令u（x）=ax²+（a+2）x+a+2，原函数的定义域由u（x）＞0求得．
①当a＞0时，u（x）=ax²+（a+2）x+a+2的图象为开口向上的抛物线，
若f（x）有最值，则u（x）图象与x轴不相交，即须△=（a+2）²-4a（a+2）=-3a²-4a+4＜0，
解得a＞

2

3

或＜-2，
∴a＞

2

3

②当a=0时，u（x）=ax²+（a+2）x+a+2=2x+2，原函数定义域为（1，+∞），在（1，+∞）上u（x）不存在最值．从而f（x）无最值．
③当-2＜a＜0，且a≠-1时，u（x）=ax²+（a+2）x+a+2的图象为开口向下的抛物线，若f（x）有最值，则须u（x）图象与x轴交于不同两点．即须△=（a+2）²-4a（a+2）=-3a²-4a+4＞0，解得-2＜a＜

2

3

，∴-2＜a＜0，且a≠-1．
综上所述a的取值范围是a＞

2

3

，或-2＜a＜0且a≠-1．
故选A

点评：本题考查复合函数的性质，考查转化、计算、数形结合的思想和能力．