【题目】已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且ctanC= (acosB+bcosA).
(1)求角C;
(2)若c=2 ,求△ABC面积的最大值.
【答案】
(1)解:ctanC= (acosB+bcosA),
由正弦定理可得:sinCtanC= (sinAcosB+sinBcosA)= sin(A+B)= sinC.
∴tanC= ,C∈(0,π).
∴C= .
(2)解:由余弦定理可得:12=c2=a2+b2﹣2abcosC≥2ab﹣ab=ab,
可得ab≤12,当且仅当a=2 时取等号.
∴△ABC面积的最大值= =3 .
【解析】(1)利用正弦定理与和差公式即可得出.(2)利用余弦定理、基本不等式的性质、三角形面积计算公式即可得出.
【考点精析】解答此题的关键在于理解正弦定理的定义的相关知识,掌握正弦定理:,以及对余弦定理的定义的理解,了解余弦定理:;;.
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【题目】已知曲线C1的参数方程为 (为参数).在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2: .
(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程;
(2)若C1与C2相交于A、B两点,设点F(1,0),求 的值.
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【题目】已知椭圆M: +y2=1,圆C:x2+y2=6﹣a2在第一象限有公共点P,设圆C在点P处的切线斜率为k1 , 椭圆M在点P处的切线斜率为k2 , 则 的取值范围为( )
A.(1,6)
B.(1,5)
C.(3,6)
D.(3,5)
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【题目】已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1(ω>0,|φ|≤ ),其图象与直线y=﹣1相邻两个交点的距离为π,若f(x)>1对x∈(﹣ , )恒成立,则φ的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 (t为参数,0≤α<π),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,并取相同的长度单位,建立极坐标系.曲线C1:p=1.
(1)若直线l与曲线C1相交于点A,B,点M(1,1),证明:|MA||MB|为定值;
(2)将曲线C1上的任意点(x,y)作伸缩变换 后,得到曲线C2上的点(x',y'),求曲线C2的内接矩形ABCD周长的最大值.
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【题目】如图,正方形 的边长为2, 为 的中点,射线 从 出发,绕着点 顺时针方向旋转至 ,在旋转的过程中,记 为 , 所经过的在正方形 内的区域(阴影部分)的面积 ,那么对于函数 有以下三个结论:
① ;② 对任意 ,都有 ;
③ 对任意 ,且 ,都有 ;
其中所有正确结论的序号是;
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【题目】某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩,按成绩分组,得到的频率分布表如图所示.
成绩分组 | 频数 | 频率 |
(160,165] | 5 | 0.05 |
(165,170] | ① | 0.35 |
(170,175] | 30 | ② |
(175,180] | 20 | 0.20 |
(180,185] | 10 | 0.10 |
合计 | 100 | 1 |
(1)请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据,再画出频率分布直方图;
(2)为了能选拔出最优秀的学生,该高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试,求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试?
(3)在(2)的前提下,学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官的面试,求第四组至少有一名学生被考官A面试的概率?
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【题目】设a,b∈R,函数 ,g(x)=ex(e为自然对数的底数),且函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在x=0处有公共的切线.
(Ⅰ)求b的值;
(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅲ)若g(x)>f(x)在区间(﹣∞,0)内恒成立,求a的取值范围.
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