Question

若函数f（x）=ax+blog₂（x+

x2+1

）+1在（-∞，0）上有最小值-3（a，b为非零常数），则函数f（x）在（0，+∞）上有最

 

值为

 

．

Answer 1

分析：先令g（x）=ax+blog₂（x+

x2+1

）判断其奇偶性，再由函数f（x）=ax+blog₂（x+

x2+1

）+1在（-∞，0）上有最小值-3，得到函数g（x）在（-∞，0）上有最小值-4，从而有g（x）在（0，+∞）上有最大值4，则由f（x）=g（x）+1得到结论．

解答：解：令g（x）=ax+blog₂（x+

x2+1

）
其定义域为R，又g（-x）=a（-x）+blog₂（-x+

x2+1

）=-（ax+blog₂（x+

x2+1

））=-g（x）
所以g（x）是奇函数．
由根据题意：函数f（x）=ax+blog₂（x+

x2+1

）+1在（-∞，0）上有最小值-3
所以函数g（x）在（-∞，0）上有最小值-4
由函数g（x）在（0，+∞）上有最大值4
所以f（x）=g（x）+1在（0，+∞）上有最大值5
故答案为：5

点评：本题主要考查函数的构造进而研究性质，若看到x与-x这样的信息，一般与函数的奇偶性有关．