Question

5．已知二次函数y=2x²-4ax+2a²+3，求函数在3≤x≤4内的最大值与最小值．

Answer 1

分析 二次函数y=2x²-4ax+2a²+3的图象是开口朝上，且以直线x=a为对称轴的抛物线，分析给定区间与对称轴的关系，进而分析函数的单调性，可得函数的最值．

解答 解：二次函数y=2x²-4ax+2a²+3的图象是开口朝上，且以直线x=a为对称轴的抛物线，
当a＜3时，函数y=2x²-4ax+2a²+3在3≤x≤4时为增函数，
此时，当x=3时，函数的最小值为：2a²-12a+21，当x=4时，函数的最大值为：2a²-16a+35，
当3≤a≤3.5时，函数y=2x²-4ax+2a²+3在3≤x≤a时为减函数，a≤x≤4为增函数，
此时，当x=a函数的最小值为：3，当x=4时，函数的最大值为：2a²-16a+35，
当3.5＜a≤4时，函数y=2x²-4ax+2a²+3在3≤x≤a时为减函数，a≤x≤4为增函数，
此时，当x=a函数的最小值为：3，当x=3时，函数的最大值为：2a²-12a+21，
当a＞4时，函数y=2x²-4ax+2a²+3在3≤x≤4时为减函数，
当x=4时，函数的最大小值为：2a²-16a+35，当x=3时，函数的最大值为：2a²-12a+21．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．