Question

20．设函数$f（x）=ax-\frac{b}{x}$，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为3x-y-4=0．
（Ⅰ） 求f（x）的解析式；
（Ⅱ） 证明：曲线f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）已知曲线上的点，并且知道过此点的切线方程，容易求出斜率，又知点（1，f（1））在曲线上，利用方程联立解出a，b；
（Ⅱ）可以设P（x₀，y₀）为曲线上任一点，得到切线方程，再利用切线方程分别与直线x=0和直线y=x联立，得到交点坐标，接着利用三角形面积公式即可得证．

解答 解：（Ⅰ）方程3x-y-4=0可化为y=3x-4，
当x=1时，y=-1，
又f′（x）=a+$\frac{b}{{x}^{2}}$，
于是$\left\{\begin{array}{l}{a+b=3}\\{a-b=-1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
故f（x）=x-$\frac{2}{x}$；
（Ⅱ）证明：设P（x₀，y₀）为曲线上任一点，
由f′（x）=1+$\frac{2}{{x}^{2}}$，
知曲线在点P（x₀，y₀）处的切线方程为y-y₀=（1+$\frac{2}{{{x}_{0}}^{2}}$）（x-x₀），
即y-（x₀-$\frac{2}{{x}_{0}}$）=（1+$\frac{2}{{{x}_{0}}^{2}}$）（x-x₀），
令x=0，得y=-$\frac{4}{{x}_{0}}$，
从而得切线与直线x=0的交点坐标为（0，-$\frac{4}{{x}_{0}}$）；
令y=x，得y=x=2x₀，
从而得切线与直线y=x的交点坐标为（2x₀，2x₀）；
所以点P（x₀，y₀）处的切线与直线x=0，y=x
所围成的三角形面积为$\frac{1}{2}$|-$\frac{4}{{x}_{0}}$|•|2x₀|=4．
故曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0，y=x所围成的三角形面积为定值，
此定值为4．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查三角形的面积的求法，注意运用待定系数法，考查运算能力，属于中档题．