Question

设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射f：V→V，a∈V，记a的象为f（a）．若映射f：V→V满足：对所有a、b∈V及任意实数λ，μ都有f（λa+μb）=λf（a）+μf（b），则f称为平面M上的线性变换．下列命题中假命题是（　　）

• A．设f是平面M上的线性变换，a、b∈V，则f（a+b）=f（a）+f（b）
• B．对a∈V，设f（a）=-a，则f是平面M上的线性变换
• C．若

  e

  是平面M上的单位向量，对a∈V，设f（a）=a+e，则f是平面M上的线性变换
• D．设f是平面M上的线性变换，a∈V，则对任意实数k均有f（ka）=kf（a）．

Answer 1

分析：对所有a、b∈V及任意实数λ，μ都有f（λa+μb）=λf（a）+μf（b），则f称为平面M上的线性变换，依题意，对A，B、C、D四个选项逐一分析即可．

解答：解：A：令λ=μ=1，则f（a+b）=f（a）+f（b），故A是真命题；
同理，D：令λ=k，μ=0，则f（ka）=kf（a），故D是真命题；
B：∵f（a）=-a，则有f（b）=-b，
f（λa+μb）=-（λa+μb）=λ•（-a）+μ（-b）=λf（a）+μf（b）是线性变换，故B是真命题；
C：由f（a）=a+

e

，则有f（b）=b+

e

，
f（λa+μb）=（λa+μb）+

e

=λ•（a+

e

）+μ•（b+

e

）-e=λf（a）+μf（b）-

e

，
∵

e

是单位向量，

e

≠0，故C是假命题．
故选：C．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查对新定义“平面M上的线性变换”的理解与应用，考查赋值法，属于中档题．