Question

已知函数f（x）=x²+2x+b（b∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）的值域为[0，+∞）．求关于x的不等式f（x）＜4的解集；
（Ⅱ）当b=0时，m为常数，且0＜m＜1，1-m≤t≤m+1，求

f(t)-t2-t

f(t)-2t+1

的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）二次函数f（x）的值域是[0，+∞），得△=0，求得b的值，得f（x）解析式，解不等式f（x）＜4即可；
（Ⅱ）b=0时，f（x）=x²+2x，化简

f(t)-t2-t

f(t)-2t+1

为

t

t2+1

；在0＜m＜1，1-m≤t≤m+1，即0＜1-m≤t≤m+1＜2时，求

t

t2+1

的最小值即可．

解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）=x²+2x+b（b∈R）的值域为[0，+∞），
∴有△=4-4b=0，即b=1，
∴f（x）=x²+2x+1，
∵不等式f（x）＜4，∴x²+2x+1＜4；
即x²+2x-3＜0，化简得（x+3）（x-1）＜0，解得-3＜x＜1；
所以不等式的解集为{x|-3＜x＜1}；
（Ⅱ）当b=0时，f（x）=x²+2x，∴

f(t)-t2-t

f(t)-2t+1

=

t

t2+1

；
∵0＜m＜1，1-m≤t≤m+1，∴0＜1-m≤t≤m+1＜2；
令g(t)=

t

t2+1

，则g′(t)=

1-t2

(t2+1)2

；
∴当0＜t＜1时，g'（t）＞0，g（t）单调增，当t＞1时，g'（t）＜0，g（t）单调减；
∴g（1）是区间（1-m，1+m）上的最大值；
又∵g（1-m）-g（1+m）=

1-m

(1-m)2+1

-

1+m

(1+m)2+1

=

-2m3

[(1-m)2+1][(+m)2+1]

＜0，
∴g（1-m）＜g（1+m）；
所以g(t)=

t

t2+1

的最小值为g(1-m)=

1-m

(1-m)2+1

．

点评：本题考查了不等式的解法以及利用导数判定函数的增减性与求最值问题，是易错题．