Question

12．已知抛物线C的方程：x²=2py（p＞0）．
（1）设AB是过抛物线焦点F的弦，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
①证明：y₁y₂为定值，并求出此定值；
②证明$\frac{1}{|A{F}_{1}|}$+$\frac{1}{|A{F}_{2}|}$为定值，并求出此定值：
③试判断以AB为直径的圆与准线的位置关系并加以证明：
④证明：过A，B分别作抛物线的切线，则两条切线的交点T一定在准线上：
（2）当p=2时，直线y=1交抛物线于A．B两点．已知P（0，-1），Q（x₀，y₀）（-2≤x₀≤2）是抛物线C上一动点，抛物线C在点Q处的切线为l，l与PA，PB分别交于点D，E，求△QAB与△PDE的面积之比：
（3）当p=$\frac{1}{2}$时，若抛物线C上存在关于直线l：y=kx+1对称的两点，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）①由抛物线方程得到焦点坐标，写出AB所在直线方程，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系可得y₁y₂为定值，并求出此定值；
②由抛物线的焦半径公式把|AF|、|BF|用A，B的纵坐标及p表示，代入后结合根与系数的关系整理得答案；
③取AB的中点M，分别过A、B、M作准线的垂线AA′、BB′、MN，垂足分别为A′、B′、N，作出图形，利用抛物线的定义及梯形的中位线性质可推导，|MN|=$\frac{1}{2}$|AB|，从而可判断圆与准线的位置关系；
④由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，由斜截式写出过焦点的直线方程，和抛物线方程联立求出A，B两点横坐标的积，再利用导数写出过A，B两点的切线方程，然后整体运算可求得两切线的交点的纵坐标为定值$-\frac{p}{2}$，从而得到两切线交点在抛物线的准线上；
（2）由题意求出A，B的坐标，设出Q的坐标，由导数求出抛物线在Q点的切线方程，再求出PA、PB的直线方程，联立求出D，E的坐标，把△QAB与△PDE的面积都用Q点的横坐标表示后得答案；
（3）设出两点G、H两点坐标，得到直线GH方程x=-ky+m，把直线GH方程与抛物线方程联立，化为一元二次方程，由韦达定理求出GH中点，应用中点在对称轴上，且判别式大于0，可求出k的取值范围．

解答 （1）证明：①根据抛物线方程，得F（0，$\frac{p}{2}$），直线AB的方程为y=kx+$\frac{p}{2}$．
联立抛物线方程得x²-2pkx-p²=0．
∴x₁x₂=-p²，则y₁y₂=$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2p}•\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2p}=\frac{{p}^{4}}{4{p}^{2}}$=$\frac{{p}^{2}}{4}$．
∴y₁y₂为定值，定值为$\frac{{p}^{2}}{4}$；
②根据抛物线的定义，|AF|=y₁+$\frac{p}{2}$，|BF|=y₂+$\frac{p}{2}$；
∴$\frac{1}{|AF|}+\frac{1}{|BF|}$=$\frac{1}{{y}_{1}+\frac{p}{2}}$+$\frac{1}{{y}_{2}+\frac{p}{2}}$=$\frac{4（{y}_{1}+{y}_{2}）+4p}{4{y}_{1}{y}_{2}+2p（{y}_{1}+{y}_{2}）+{p}^{2}}$；
y₁y₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$代入化简可得：$\frac{1}{|AF|}+\frac{1}{|BF|}$=$\frac{4（{y}_{1}+{y}_{2}）+4p}{4•\frac{{p}^{2}}{4}+2p（{y}_{1}+{y}_{2}）+{p}^{2}}=\frac{4（{y}_{1}+{y}_{2}）+4p}{2{p}^{2}+2p（{y}_{1}+{y}_{2}）}$=$\frac{2}{p}$；
即$\frac{1}{|AF|}+\frac{1}{|BF|}$为定值，定值为$\frac{2}{p}$；
③取AB的中点M，分别过A、B、M作准线的垂线AA′、BB′、MN，垂足分别为A′、B′、N，如图所示：
由抛物线的定义可知，|AA′|=|AF|，|BB′|=|BF|，
在直角梯形APQB中，|MN|=$\frac{1}{2}$（|AA′|+|BB′|）=$\frac{1}{2}$（|AF|+|BF|）=$\frac{1}{2}$|AB|，
故圆心M到准线的距离等于半径，
∴以AB为直径的圆与抛物线的准线相切；
④抛物线方程可化为$y=\frac{1}{2p}{x}^{2}$，于是$y′=\frac{1}{p}x$，
∴${k}_{AT}=\frac{1}{p}{x}_{1}，{k}_{BT}=\frac{1}{p}{x}_{2}$，直线AT的方程为y-y₁=$\frac{{x}_{1}}{p}（x-{x}_{1}）$，即y$-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2p}=\frac{{x}_{1}}{p}（x-{x}_{1}）$，$y=\frac{{x}_{1}}{p}x-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2p}$，
同理，直线BT的方程为$y=\frac{{x}_{2}}{p}x-\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2p}$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{{x}_{1}}{p}x-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2p}}\\{y=\frac{{x}_{2}}{p}x-\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2p}}\end{array}\right.$，解得$y=\frac{\frac{{x}_{1}{{x}_{2}}^{2}}{2p}-\frac{{x}_{2}{{x}_{1}}^{2}}{2p}}{{x}_{2}-{x}_{1}}=\frac{\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{2p}（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{1}{2p}•（-{p}^{2}）=-\frac{p}{2}$．
∴两条切线的交点一定在准线上；
（2）解：如图，
当p=2时，抛物线C的方程为x²=4y，联立直线y=1，可得A（-2，1），B（2，1），
设Q（${x}_{0}，\frac{1}{4}{{x}_{0}}^{2}$），则过Q的切线方程为y-$\frac{1}{4}{{x}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}{x}_{0}（x-{x}_{0}）$，即$y=\frac{1}{2}{x}_{0}x-\frac{1}{4}{{x}_{0}}^{2}$．
又P（0，-1），
∴PA、PB所在直线方程分别为$\frac{y+1}{1+1}=\frac{x-0}{-2-0}，\frac{y+1}{1+1}=\frac{x-0}{2-0}$，即x+y+1=0，x-y-1=0．
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+y+1=0}\\{y=\frac{1}{2}{x}_{0}x-\frac{1}{4}{{x}_{0}}^{2}}\end{array}\right.$，解得D（$\frac{{x}_{0}-2}{2}，-\frac{{x}_{0}}{2}$），
联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y-1=0}\\{y=\frac{1}{2}{x}_{0}x-\frac{1}{4}{{x}_{0}}^{2}}\end{array}\right.$，解得E（$\frac{{x}_{0}+2}{2}，\frac{{x}_{0}}{2}$）．
∴${S}_{△QAB}=\frac{1}{2}×4×（1-\frac{1}{4}{{x}_{0}}^{2}）$=$2（1-\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}）$，
${S}_{△PDE}=\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{4}{{x}_{0}}^{2}）×|{x}_{D}-{x}_{E}|$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{4}{{x}_{0}}^{2}）|\frac{{x}_{0}-2}{2}-\frac{{x}_{0}+2}{2}|$=$1-\frac{1}{4}{{x}_{0}}^{2}$．
故△QAB与△PDE的面积之比为2；
（3）解：设两点G、H关于直线y=kx+1对称，故可设直线GH方程为y=-$\frac{1}{k}$x+m，代入y=x²，
得：x²+$\frac{1}{k}$x-m=0．
设G（x₁，y₁）、H（x₂，y₂），则GH中点K（x₀，y₀），则x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=-\frac{1}{2k}$，y₀=$\frac{1}{2{k}^{2}}$+m．
∵点M（x₀，y₀）在直线y=kx+1上，
∴$\frac{1}{2{k}^{2}}$+m=k（-$\frac{1}{2k}$）+1，
∴m=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2{k}^{2}}$．
又∵GH与抛物线交于不同两点，∴△=$\frac{1}{{k}^{2}}$+4m＞0．
把m代入得$\frac{1}{{k}^{2}}$+4（$\frac{1}{2}-\frac{1}{2{k}^{2}}$）＞0，化简得$\frac{1}{{k}^{2}}$＜2，解得k＜-$\frac{\sqrt{2}}{2}$或k＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故k的取值范围是（-∞，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）∪（$\frac{\sqrt{2}}{2}，+∞$）．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系、直线与圆的位置关系，考查抛物线的定义，考查了轨迹方程，训练了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了整体运算思想方法，是难题．