Question

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各条棱长都为a，P为A₁B上的点，且PC⊥AB
（1）求证：P点为A₁B的中点；
（2）求二面角P-AC-B的正切值．

Answer 1

分析：（1）过P点作PM⊥AB于M，由正三棱柱性质知PM⊥平面ABC，得到M为AB中点，又PM∥AA₁，利用平行线分线段成比例定理得到P为A₁B的中点．
（2）过M作MN⊥AC于N，连接PN则PN⊥AC，∠PNM为二面角P-AC-B的平面角，解Rt△PMN求出二面角P-AC-B的正切值．

解答：解：（1）过P点作PM⊥AB于M，
由正三棱柱性质知PM⊥平面ABC，
连接MC，则MC为PC在平面ABC上的射影．
∵PC⊥AB，
∴MC⊥AB，
∴M为AB中点，又PM∥AA₁，
所以P为A₁B的中点．
（2）过M作MN⊥AC于N，连接PN则PN⊥AC，
∴∠PNM为二面角P-AC-B的平面角
在Rt△PMN中，由|PM|=

a

2

，|MN|=

3

4

a，得tan∠PNM=

|PM|

|MN|

=

2 3

3

所以二面角P-AC-B的正切值为

2 3

3

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的性质，以及二面角的度量，考查空间想象能力，几何逻辑推理能力，以及计算能力，属于常规题．