Question

已知抛物线y²=4x，过焦点的弦AB被焦点分成长为m，n的两段，求证：m+n=mn．

Answer 1

证明：抛物线的焦点F（1，0），准线x=-1，
设y=k（x-1），把它代入y²=4x得k²x²-2（k²+2）x+k²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁x₂=1
由抛物线定义可得|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1，
∴m+n=（x₁+1）+（x₂+1）=（x₁+x₂）+2，mn=（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+（x₁+x₂）+1=（x₁+x₂）+2
∴m+n=mn
分析：求出抛物线的焦点F（1，0），准线x=-1，再设y=k（x-1）代入y²=4x得k²x²-2（k²+2）x+k²=0，由抛物线定义可得|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1，从而可得结论．
点评：本题考查抛物线过焦点的性质，解题的关键是设出过焦点的直线方程与抛物线方程联立方程组．