Question

下列说法：
①方程2^-x+x²=3的实数解的个数为1；
②函数y=a^x的图象可以由函数y=2a^x（其中a＞0且a≠1）平移得到；
③若对x∈R，有f（x-1）=-f（x），则f（x）的周期为2；
④函数y=f（1+x）与函数y=f（1-x）的图象关于直线x=1对称．
其中正确的命题的序号

③④

．

Answer 1

分析：利用函数图象的交点个数，来判断方程的解的个数，从而判断①是否正确；
根据函数图象的变化规律判断②是否正确；
利用周期函数的定义，验证③是否正确；
根据函数图象上的任一点关于直线的对称点是否在另一函数图象上，来判断两函数图象是否关于直线对称，从而判断④是否正确．

解答：解：对①选项，利用函数f（x）=2^-x=(

1

2

)x与f（x）=3-x²的图象，判断两函数的图象有两个交点，∴方程有两个实数解，故①错误；
对②选项，函数y=a^x的图象可由函数y=2a^x的图象的点，横坐标不变，纵坐标缩短为原来的

1

2

得到，∴②错误；
对③选项，∵f（x）=-f（x-1），∴f（x+2）=-f（x+1）=-[-f（x）]=f（x）．∴则f（x）的周期为2，故③正确；
对④选项，对函数y=f（1+x）图象上任一点P（a，b），关于x=1的对称点Q（2-a，b），∵f（2-a）=f[1+（1-a）]=f[1-（1-a）]=f（a）=b，
∴Q在函数y=f（1-x）的图象上，故④正确．
故答案是③④．

点评：本题借助考查判断的真假判定，考查函数零点的判定、函数的图象变化规律及函数的周期．