Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的长轴两端点分别为A，B，P（x₀，y₀）（y₀＞0）是椭圆上的动点，以AB为一边在x轴下方作矩形ABCD，使AD=kb（k＞0），PD交AB于点E，PC交AB于点F．

（Ⅰ）如图（1），若k=1，且P为椭圆上顶点时，△PCD的面积为12，点O到直线PD的距离为

6

5

，求椭圆的方程；
（Ⅱ）如图（2），若k=2，试证明：AE，EF，FB成等比数列．

Answer 1

分析：（I）利用三角形的面积计算公式、点到直线的距离公式及其椭圆的性质可得a，b即可；
（II）利用斜率计算公式、两点间的距离公式、点在椭圆上的意义及其等比数列的定义即可得出．

解答：解：（Ⅰ）如图，当k=1时，CD过点（0，-b），CD=2a，
∵△PCD的面积为12，∴

1

2

×2a×2b=12，即ab=6．①
此时D（-a，-b），∴直线PD方程为2bx-ay+ab=0．
∴点O到PD的距离d=

ab

4b2+a2

=

6

5

． ②
由①②解得a=3，b=2或a²=16，b2=

9

4

．       
∴所求椭圆方程为

x2

9

+

y2

4

=1或

x2

16

+

4y2

9

=1．  
（Ⅱ）如图，当k=2时，C（a，-2b），D（-a，-2b），设E（x₁，0），F（x₂，0），
由D，E，P三点共线，∴k_PD=k_DE，∴

y0+2b

x0+a

=

2b

x1+a

，化为x1+a=

2b(x0+a)

y0+2b

=|AE|，
由C，F，P三点共线，同理可得：a-x2=

2b(a-x0)

y0+2b

=|FB|，
又

x 2 0

a2

+

y 2 0

b2

=1，∴|AE||FB|=

4b2(a2- x 2 0 )

(y0+2b)2

=

4a2 y 2 0

(y0+2b)2

．        
而|EF|=2a-|AE|-|FB|=2a-

2b(x0+a)

y0+2b

-

2b(a-x0)

y0+2b

=2a-

4ab

y0+2b

=

2ay0

y0+2b

．
∴|EF|²=|AE||FB|，即有|AE|，|EF|，|FB|成等比数列．

点评：熟练掌握椭圆的定义及其性质、三角形的面积计算公式、点到直线的距离公式、斜率计算公式、两点间的距离公式、点在椭圆上的意义及其等比数列的定义等是解题的关键．