Question

若直线l经过原点且与曲线y=x³-3x²+2x相切，则直线l的方程为

y=2x或y=-

1

4

x

．

Answer 1

分析：设切点坐标为（x₀，y₀），可得切线方程为y-y₀=（3x₀²-6x₀+2）（x-x₀），利用直线l经过原点，即可求得直线l的方程．

解答：解：设切点坐标为（x₀，y₀），则
求导数可得：y′=3x²-6x+2，所以切线方程为y-y₀=（3x₀²-6x₀+2）（x-x₀）
∵直线l经过原点
∴0-y₀=（3x₀²-6x₀+2）（0-x₀）
∵y₀=x₀³-3x₀²+2x₀，
∴x₀³-3x₀²+2x₀=x₀（3x₀²-6x₀+2）
∴x₀=0或x₀=

3

2

∴斜率分别为2或-

1

4

∴直线l的方程为y=2x或y=-

1

4

x
故答案为：y=2x或y=-

1

4

x

点评：本题考查导数的运用，考查导数的几何意义，注意区分切线过点与在点处的切线．