Question

3．设有两个命题p：不等式$\frac{{e}^{x}}{4}$+$\frac{1}{{e}^{x}}$＞a的解集为R；q：函数f（x）=-（7-3a）^x在R上是减函数，如果这两个命题中有且只有一个真命题，那么实数a的取值范围是（　　）

• A． 1≤a＜2
• B． 2＜a≤$\frac{7}{3}$
• C． 2≤a＜$\frac{7}{3}$
• D． 1＜a≤2

Answer 1

分析 由基本不等式可得$\frac{{e}^{x}}{4}$+$\frac{1}{{e}^{x}}$≥1，则命题p成立时，a＜1；若命题q：函数f（x）=-（7-3a）^x在R上是减函数成立，则a＜2，进而根据这两个命题中有且只有一个真命题，可得实数a的取值范围．

解答 解：$\frac{{e}^{x}}{4}$+$\frac{1}{{e}^{x}}$≥2$\sqrt{\frac{{e}^{x}}{4}•\frac{1}{{e}^{x}}}$=1，
若命题p：不等式$\frac{{e}^{x}}{4}$+$\frac{1}{{e}^{x}}$＞a的解集为R成立，
则a＜1，
若命题q：函数f（x）=-（7-3a）^x在R上是减函数成立，
则7-3a＞1，解得：a＜2，
如果这两个命题中有且只有一个真命题，
则$\left\{\begin{array}{l}a＜1\\ a≥2\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}a≥1\\ a＜2\end{array}\right.$，
解得：1≤a＜2，
故选：A

点评 本题以命题的真假判断为载体，考查了基本不等式，指数函数的单调性等知识点，难度中档．