Question

给定正整数n（n≥2）按图方式构成三角形数表：第一行依次写上数1，2，3，…，n，在下面一行的每相邻两个数的正中间上方写上这两个数之和，得到上面一行的数（比下一行少一个数），依此类推，最后一行（第n行）只有一个数．例如n=6时数表如图所示，则当n=2010时最后一行的数是

2011×2²⁰⁰⁸

．

Answer 1

分析：根据题意，观察图表中每一行的第一个数，依次为1、3、8、20、48、…，结合数列的知识，可得变化的规律，进而可得答案．

解答：解：根据题意，观察图表可得，n=1时，最后一行的数是1，有（1+1）×2^1-2=2×

1

2

=1成立，
n=2时，最后一行的数（即图表第2行第1个数）是3，有（2+1）×2^2-2=3×1=3成立，
n=3时，最后一行的数（即图表第3行第1个数）是8，有（3+1）×2^3-2=4×2=8成立，
n=4时，最后一行的数（即图表第4行第1个数）是20，有（4+1）×2^4-2=5×4=20成立，
n=5时，最后一行的数（即图表第5行第1个数）是48，有（5+1）×2^5-2=6×8=48成立，
…
以此类推，
当n=k时最后一行的数是（k+1）×2^k-2，
当n=2010时最后一行的数是（2010+1）×2^2010-2=2011×2²⁰⁰⁸，
故答案为2011×2²⁰⁰⁸．

点评：本题考查归纳推理的运用，类似与归纳数列的通项公式，解题时注意结合常见数列的性质来分析．