Question

已知：抛物线y=ax²+4ax+t与x轴的一个交点为A（-1，0）；
（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式；
（3）E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5：2的点，如果点E在（2）中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△APE的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）抛物线的对称轴是x=-2，∵点A，B一定关于对称轴对称，
∴另一个交点为B（-3，0）．
（2）∵A，B的坐标分别是（-1，0），（-3，0），∴AB=2，
∵对称轴为x=-2，∴CD=4；
设梯形的高是h．
∵S_梯形ABCD=×（2+4）h=9，
∴h=3，即|-t|=3，
∴t=±3，
当t=3时，把（-1，0）代入解析式得到a-4a+3=0，，解得a=1，
当t=-3时，把（-1，0）代入解析式得到a=-1，
∴a=1或a=-1，
∴解析式为y=x²+4x+3或y=-x²-4x-3；
（3）由题意得，E在y=-x上，且在x=-2右侧，与抛物线y=x²+4x+3联立可得x²+x+3=0，∴x=-6或x=-
∵E与点A在此抛物线对称轴的同侧，∴E（-，）．
A关于对称轴的对称点B（-3，0），连接B与E交对称轴于点P，
∵BE的方程为，即，
∴x=-2时，y=，即P（-2，）．
y=-x与y=-x²-4x-3联立可得x²+x+3=0，此方程无解
综上知，抛物线的对称轴上存在点P（-2，），使△APE的周长最小．
分析：（1）求得抛物线的对称轴，利用点A，B一定关于对称轴对称，可得B的坐标；
（2）利用以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求得高，可得t的值，（-1，0）代入解析式，可得结论；
（3）由题意得，E在y=-x上，且在x=-2右侧，分别与抛物线y=x²+4x+3联立，确定E的坐标，利用对称性，可使△APE的周长最小，从而可得结论．
点评：本题考查抛物线的对称性，考查解析式的求解，考查利用对称性解决最值问题，属于中档题．