Question

14．数列{a_n}中，a₁=1，a_n+a_n+1=（$\frac{1}{4}$）ⁿ，S_n=a₁+4a₂+4²a₃+…+4^n-1a_n，类比课本中推导等比数列前项和公式的方法，可求得5S_n-4ⁿa_n=n．

Answer 1

分析 先对S_n=a₁+a₂•4+a₃•4²+…+a_n•4^n-1 两边同乘以4，再相加，求出其和的表达式，整理即可求出5S_n-4ⁿa_n的表达式．

解答 解：由S_n=a₁+a₂•4+a₃•4²+…+a_n•4^n-1 ①
得4•s_n=4•a₁+a₂•4²+a₃•4³+…+a_n-1•4^n-1+a_n•4ⁿ ②
①+②得：5s_n=a₁+4（a₁+a₂）+4²•（a₂+a₃）+…+4^n-1•（a_n-1+a_n）+a_n•4ⁿ
=a₁+4×$\frac{1}{4}$+4²•（$\frac{1}{4}$）²+…+4 ^n-1•（$\frac{1}{4}$）^n-1+4ⁿ•a_n
=1+1+1+…+1+4ⁿ•a_n
=n+4ⁿ•a_n．
所以5s_n-4ⁿ•a_n=n，
故答案为：n．

点评 本题主要考查数列的求和，用到了类比法，关键点在于对课本中推导等比数列前n项和公式的方法的理解和掌握．