Question

17．已知f（x）是定义在R上的偶函数，并满足f（x+2）=-$\frac{1}{f（x）}$，当1≤x＜2时，$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}（{2-x}）$，则f（6.5）=1．

Answer 1

分析 由f（x+2）=-$\frac{1}{f（x）}$求出函数的周期，由周期性、偶函数的性质将f（6.5）转化为f（1.5），代入已知的解析式由对数的运算性质求值．

解答 解：由f（x+2）=-$\frac{1}{f（x）}$得，f（x+4）=$-\frac{1}{f（x+2）}$=f（x），
∴函数f（x）的周期是4，
∵f（x）是定义在R上的偶函数，当1≤x＜2时，$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}（{2-x}）$，
∴f（6.5）=f（4+2.5）=f（2.5）=f（-4+2.5）
=f（-1.5）=f（1.5）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（2-1.5）$=$lo{g}_{\frac{1}{2}}\frac{1}{2}$=1，
故答案为：1．

点评 本题考查了函数的周期性、奇偶性的综合应用，对数的运算性质，以及转化思想，属于中档题．