Question

设函数f（x）=m-

1

3x+1

（x∈R）：
（1）判断并证明函数f（x）的单调性
（2）是否存在实数m使函数f（x）为奇函数？

Answer 1

分析：（1）利用函数单调性的定义进行证明．
（2）利用函数奇偶性的定义进行判断．

解答：解：（1）函数f（x）在R上为增函数．
证明：在R上任意设两个实数x₁，x₂，不妨设x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=

1

3x2+1

-

1

3x1+1

=

3x1-3x2

(3x1+1)(3x2+1)

，
∵x₁＜x₂，
∴3x1-3x20，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在R上为增函数．
（2）若函数f（x）为奇函数，则有f（0）=0，
即f（0）=m-

1

2

=0，
解得m=

1

2

．
此时f(x)=

1

2

-

1

3x+1

．
∴存在实数m=

1

2

使函数f（x）为奇函数

点评：本题主要考查函数单调性的证明，以及函数奇偶性的应用，要求熟练掌握函数单调性的定义以及函数奇偶性的性质．