Question

已知数列{a_n}中，a₁=2，前n项和S_n，若S_n=n²a_n，则a_n=

 

．

Answer 1

分析：由题意可知na_n-1=（n-2）a_n-2，（n-1）a_n-2=（n-3）a_n-3…5a₄=3a₃，4a₃=2a₂，3a₂=a₁，两边相乘并整理，得：n（n+1）a_n=2a₁，
由此能够求出a_n．

解答：解：∵S_n=n²a_{n，∴Sn-1=（n-1）²an-1}，
∴S_n-S_n-1=n²a_n-（n-1）²a_n-1=a_n
（n²-1）a_n=（n-1）²a_n-1，（n+1）a_n=（n-1）a_n-1，
∴na_n-1=（n-2）a_n-2
（n-1）a_n-2=（n-3）a_n-3
…
5a₄=3a₃，
4a₃=2a₂，
3a₂=a₁，
两边相乘：
3×4×5×…×（n-1）n（n+1）a_n=1×2×3×…×（n-3））（n-2））（n-1）a₁
n（n+1）a_n=2a₁，
∴an=

2a1

n(n+1)

=

4

n(n+1)

．

点评：本题考查数列的及其应用，解题时要认真审题，熟练掌握公式的灵活运用．