Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，过点F作垂直于x轴的直线与双曲线交于 B、C 两点，且AB⊥AC，|BC|=6．
（1）求双曲线的方程；
（2）过F的直线l交双曲线左支D点，右支E点，P为DE的中点，若以AF为直径的圆恰好经过P点，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）由已知易得a+c=6，2×

c2-a2

a

=6，解出a，b，c值后，可得双曲线的方程；
（2）设直线l的方程为y=k（x-2），代入3x²-y²=3，利用韦达定理，结合向量垂直的充要条件，可求出k值，进而得到直线l的方程．本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的综合应用，双曲线的简单性质，联立方程，设而不求，韦达定理，是解答此类问题的三架马车．

解答：解 （1）∵AB⊥AC，BC⊥x轴，|BC|=6，
∴AF=a+c=6，
直线BC：x=c，代入

x2

a2

-

y2

b2

=1，得：y²=

(c2-a2)2

a2

，B（c，

c2-a2

a

），C（c，-

c2-a2

a

）．
∴

a+c=3 2 c2-a2 a =6

∴a=1，c=2，从而b²=3
所求双曲线的方程为x²-

y2

3

=1．
（2）设直线l的方程为y=k（x-2），代入3x²-y²=3，得：（3-k²） x²+4k²x-4k²-3=0D（x₁，y₁），E（x₂，y₂）由题意x₁x₂=

-4k2-3

3-k2

＜0，∴-

3

＜k＜

3

x₁₊x₂=

-4k2

3-k2

，y₁+y₂=k（x₁₊x₂）-4 k=

-12k

3-k2

∵P为DE的中点，∴P（

-2k2

3-k2

，

-6k

3-k2

），A（-1，0），F（2，0）
又∵以AF为直径的圆恰好经过P点，∴

AP

•

FP

=0
（

-2k2

3-k2

+1，

-6k

3-k2

）（

-2k2

3-k2

-2，

-6k

3-k2

）=0，
（

-2k2

3-k2

+1）（ 

-2k2

3-k2

-2）+（

-6k

3-k2

）²=0，化简得54k²=18，k=±

3

3

此时直线l的方程y=±

3

3

（x-2）．

点评：本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的综合应用，双曲线的简单性质，联立方程，设而不求，韦达定理，是解答此类问题的三架马车．