Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=1，，3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t（t为正常数，n=2，3，4…）．
（1）求证：{a_n}为等比数列；
（2）设{a_n}公比为f（t），作数列b_n使b1=1，bn=f(

1

bn-1

)(n≥2)，试求b_n，并求b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1（n∈N*）

Answer 1

分析：（1）因为a_n=S_n-S_n-1（n≥2，n∈N^*），所以在3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t的基础上，用n-1替换n构造与它类似的关系式；然后利用作差法求出a_n与a_n-1的关系式，进而可整理为等比数列形式；但不要忘掉未含项的检验．
（2）由（1）知{a_n}的公比f（t），又b_n=f（

1

bn-1

），则可找到b_n与b_n-1的关系，进而可整理为等差数列形式；则由等差数列通项公式可求b_n；代数式b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1的求值，可利用分组的方法，把它转化到等差数列的性质与前n项和公式上去，则问题解决．

解答：（1）证明：∵a₁=1，3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t（n≥2，n∈N^*）①
∴3tS_n-1-（2t+3）S_n-2=3t（n≥3，n∈N*）②
①②两式相减得

3tan-(2t+3)an-1=0 ∴ an an-1 = 2t+3 3t (n≥3，t为正常数)

又n=2时，

3t(1+a2)-(2t+3)•1=3t ∴a2= 2t+3 3t ∴ a2 a1 = 2t+3 3t

∴a_n是以1为首项，

2t+3

3t

为公比的等比数列．
（2）解：∵f(t)=

2t+3

3t

=

2+ 3 t

3

，∴bn=

2+3bn-1

3

，∴bn-bn-1=

2

3

(n≥2)
∴b_n是以1为首项，

2

3

为公差的等差数列，∴bn=

2n+1

3

∴b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1（n∈N*）
=b₂（b₁-b₃）+b₄（b₃-b₄）+…+b_2n（b_2n-1-b_2n+1）
=-

4

3

(b2+b4+b2n)=-

4

3

n( 5 3 + 4n+1 3 )

2

=

-8n2-12n

9

．

点评：若数列{a_n}的前n项和为S_n，则a_n=S_n-S_n-1（n≥2，n∈N^*）是实现前n项和S_n向通项a_n转化的桥梁与纽带，进而可结合等差数列、等比数列的定义与性质解决问题．