Question

如图，设△ABC和△DBC所在的两个平面互相垂直，且AB=BC=BD，∠CBA=∠DBC=120°.求:

（1）A、D的连线和平面BCD所成的角；

（2）A、D的连线和直线BC所成的角；

（3）二面角A—BD—C的大小.（用反三角函数表示）

Answer 1

解：（1）作AH⊥BC交CB延长线于点H，连结HD.

∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，AH平面ABC，AH⊥BC,

∴AH⊥平面BCD.

∴∠ADH就是直线AD与平面BCD所成的角.

∵∠ABC=∠DBC=120°,

∴∠ABH=∠DBH=60°.

    又AB=DB，

∴△ABH≌△DBH.

∴AH=DH.

∴∠ADH=45°，即AD与平面BCD所成的角为45°.

（2）由△ABH≌△DBH及∠AHB=90°,得∠DHB=90°,即

CB⊥DH.

    又CB⊥AH，AH、DH平面ADH，AH∩DH=H，

∴CB⊥平面ADH.

    又AD平面ADH，

∴CB⊥AD.

∴A、D连线与BC所成角为90°.

（3）方法一:作AM⊥BD于点M，连结HM.

∵AH⊥平面BCD，

∴HM是AM在平面BCD上的射影，根据三垂线定理的逆定理,可得BD⊥HM.

∴∠AMH就是二面角A—BD—C的平面角的补角.

    设AB=a，根据已知条件在Rt△ABH中，可求得AH=a,BH=,

    在Rt△BDH中，DH=AH=a,

∴HM=a.

∴tan∠AMH==2.

∴二面角A—BD—C的大小为π-arctan2.

方法二:∵AH⊥平面BCD，

∴△ABD在平面BCD上的射影是△HBD.

设AB=a，则BD=a,BH=,DH=AH=a.∴AD=a.

∴等腰△BAD的面积为

·a·,

Rt△BHD的面积为·a·a=a².

∴cosθ=.

∴二面角A—BD—C的大小为π-arccos.