Question

13．已知$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow{b}$=（-3，2），当实数k为何值时，
（Ⅰ）k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$垂直？
（Ⅱ）k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$平行？平行时它们是同向还是反向？

Answer 1

分析 （1）利用向量垂直与数量积的关系即可得出；
（2）利用向量共线定理即可得出．

解答 解：$k\overrightarrow a+\vec b=k（1，2）+（-3，2）=（k-3，2k+2）$$\overrightarrow a-3\vec b=（1，2）-3（-3，2）=（10，-4）$，
（1）∵$（k\overrightarrow a+\vec b）⊥$$（\overrightarrow a-3\vec b）$，
得$（k\overrightarrow a+\vec b）•$$（\overrightarrow a-3\vec b）=10（k-3）-4（2k+2）=2k-38=0，k=19$．
（2）∵$（k\overrightarrow a+\vec b）∥$$（\overrightarrow a-3\vec b）$，得$-4（k-3）=10（2k+2），k=-\frac{1}{3}$，
此时$k\overrightarrow a+\vec b=（-\frac{10}{3}，\frac{4}{3}）=-\frac{1}{3}（10，-4）$，所以方向相反．

点评 本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．