【题目】已知函数.
(1)求函数的图象在点处切线的方程;
(2)讨论函数的极值;
(3)若对任意的成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)当时,函数取得极小值,且的极小值为,不存在极大值
(3)
【解析】
(1)先求导函数,然后根据导数的几何意义求得切线的斜率为,再根据直线方程得点斜式求得函数的图象在点处切线的方程;
(2)先求得导函数的零点,再判断零点左右两侧导数的符号,根据导数符号可得极值点,从而可得极值.
(3) 将对任意的成立转化为对任意的成立,然后构造函数,求导后讨论得的单调性,根据单调性可得.
解:(1)因为,
所以,
所以.
又,
所以函数的图象在点处切线的方程为,即.
(2)因为,
所以.
令,得,
因为时,,时,,
所以函数在处取得极小值,极小值为.不存在极大值.
(3)据题意,得对任意的成立,
即对任意的成立.
令,
所以.
讨论:
当时,,此时在上单调递增.
又,所以当时,,
这与对任意的恒成立矛盾;
当时,二次方程的判别式.
若,解得,此时,在上单调递减.
又,
所以当时,,满足题设;
若,解得,此时关于的方程的两实数根是,,其中,.
又分析知,函数在区间上单调递增,,
所以当时,,不符合题设.
综上,所求实数的取值范围是.
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【题目】已知椭圆:过点,且椭圆的离心率为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)斜率为的直线交椭圆于,两点,且.若直线上存在点P,使得是以为顶角的等腰直角三角形,求直线的方程.
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【题目】已知椭圆的离心率为,左、右焦点分别为、,为椭圆上异于长轴端点的点,且的最大面积为.
(1)求椭圆的标准方程
(2)若直线是过点点的直线,且与椭圆交于不同的点、,是否存在直线使得点、到直线,的距离、,满足恒成立,若存在,求的值,若不存在,说明理由.
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【题目】已知函数,.
(1)求函数的最小正周期和单调递减区间;
(2)将函数的图象向右平移个单位后,再将所得图象的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍,得到的函数的图象关于轴对称,求的最小值.
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【题目】某企业准备招聘一批大学生到本单位就业,但在签约前要对他们的某项专业技能进行测试.在待测试的某一个小组中有男、女生共10人(其中女生人数多于男生人数),如果从中随机选2人参加测试,其中恰为一男一女的概率为;(Ⅰ)求该小组中女生的人数;(Ⅱ)假设此项专业技能测试对该小组的学生而言,每个女生通过的概率均为,每个男生通过的概率均为;现对该小组中男生甲、男生乙和女生丙3个人进行测试,记这3人中通过测试的人数为随机变量,求的分布列和数学期望.
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