Question

【题目】选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≥﹣2的解集M；
（Ⅱ）对任意x∈[a，+∞]，都有f（x）≤x﹣a成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：∵函数f（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|，∴不等式f（x）≥﹣2即 ①，或 ②，或 ③．

解①求得x∈，解②求得﹣ ≤x＜1，解③求得1≤x≤6，

综上，不等式的解集为M={x|﹣ ≤x≤6}．

（Ⅱ）对任意x∈[a，+∞]，都有f（x）≤x﹣a成立，函数f（x）= 的图象如图所示：

令y=x﹣a，则此直线斜率为1，﹣a表示直线的纵截距，故函数f（x）的图象在直线y=x﹣a的下方或在直线上．

当直线过（1，3）点时，﹣a=2，即a=﹣2；

∴当﹣a≥2，即a≤﹣2时，条件成立；

当﹣a＜2，即a＞﹣2时，令﹣x+4=x﹣a，得x=2+ ，

∴a≥2+ ，即a≥4时，条件成立，

综上a≤﹣2或a≥4．

【解析】（Ⅰ）通过对x≤﹣2，﹣2＜x＜1与x≥1三类讨论，去掉绝对值符号，解相应的一次不等式，最后取其并集即可；（Ⅱ）在坐标系中，作出f（x）= 的图象，对任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x﹣a成立，分﹣a≥2与﹣a＜2讨论，即可求得实数a的取值范围．
【考点精析】本题主要考查了绝对值不等式的解法的相关知识点，需要掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号才能正确解答此题．