Question

19．已知f（x）=ln（1+x）-ln（1-x），x∈（-1，1）．现有下列命题：①f（-x）=f（x）；②f（$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$）=2f（x）；③|f（x）|≥2|x|．其中的所有正确命题的序号是②③．

Answer 1

分析 根据已知中函数的解析式，结合对数的运算性质，分别判断三个结论的真假，最后综合判断结果，可得答案．

解答 解：∵f（x）=ln（1+x）-ln（1-x），x∈（-1，1）．
∴f（-x）=ln（1-x）-ln（1+x）=-f（x），故①错误；
f（$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$）=ln（1+$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$）-ln（1-$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$）
=ln$\frac{（x+1）^{2}}{{x}^{2}+1}$-ln$\frac{{（x-1）}^{2}}{{x}^{2}+1}$
=ln$\frac{\frac{{（x+1）}^{2}}{{x}^{2}+1}}{\frac{{（x-1）}^{2}}{{x}^{2}+1}}$
=ln$\frac{{（x+1）}^{2}}{{（x-1）}^{2}}$
=ln（1+x）²-ln（1-x）²
=2[ln（1+x）-ln（1-x）]
=2f（x），故②正确；
当x∈[0，1）时，|f（x）|≥2|x|?f（x）-2x≥0，令g（x）=f（x）-2x=ln（1+x）-ln（1-x）-2x（x∈[0，1））
∵g′（x）=$\frac{1}{1+x}$+$\frac{1}{1-x}$-2=$\frac{2{x}^{2}}{1-{x}^{2}}$≥0，
∴g（x）在[0，1）单调递增，g（x）=f（x）-2x≥g（0）=0，
又f（x）≥2x，又f（x）与y=2x为奇函数，所以|f（x）|≥2|x|成立，故③正确；
故正确的命题有②③，
故答案为：②③

点评 本题以命题的真假判断为载体，考查了对数的运算性质，代入法求函数的解析式等知识点，难度中档．