Question

△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知A=

π

6

，c=

3

，b=1
（1）求a的长及B的大小；
（2）试指出函数f(x)=2sinxcosx+2

3

cos2x-

3

的图象可以由函数y=sin2x图象经怎样的变化而得到，并求当x∈（0，B]时函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由余弦定理求出a，由a=1=b，得到 B=A=

π

6

．
 （2）求出f（x）=2sin（2x+

π

3

），即可得到f（x）由函数y=sin2x图象经怎样的变化而得到，由x的范围求得sin（2x+

π

3

）的范围，即得函数f（x）的值域．

解答：解：（1）由余弦定理，得a²=b²+c²-2bccossA=4-2

3

cos

π

6

=1，∴a=1，∴B=A=

π

6

．
（2）f（x）=2sinxcosx+2

3

cos²x-

3

=sin2x+

3

cos2x=2sin（2x+

π

3

）．
该函数图象可以由y=sin2x的图象先向左平移

π

6

，然后把每点的横坐标不变纵坐标变为原来的2倍即可得到．
由（1），0＜x≤

π

6

，∴

π

3

＜2x+

π

3

≤

2π

3

，

3

2

≤sin（2x+

π

3

）≤1，
∴函数的值域为[

3

，2]．

点评：本题考查余弦定理、二倍角公式的应用，以及函数图象的变换，求出f（x）=2sin（2x+

π

3

）是解题的关键．