Question

已知幂函数f（x）=x^{（2-k﹚﹙1+k﹚}﹙k∈Z﹚满足f﹙2﹚＜f﹙3﹚．
（1）求整数k的值，并写出相应的函数f（x）的解析式；
（2）设g（x）=f（x）-2ax+1，x∈[-2，1]，求g（x）的最小值h（a）；
（3）求h（a）的最大值．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）根据幂函数的单调性的性质，即可求出k的值，从而求f（x）的解析式；
（2）讨论对称轴和区间的关系，即当a＞1时，当-2≤a≤1，当a＜-2时，通过单调性即可得到最小值h（a）；
（3）分别求出各段的值域，再比较最大值，即可得到．

解答： 解：（1）由于幂函数f（x）=x^{（2-k﹚﹙1+k﹚}﹙k∈Z﹚满足f﹙2﹚＜f﹙3﹚，
则f（x）在（0，+∞）上单调递增，即有（2-k）（1+k）＞0，
解得-1＜k＜2，k为整数，则k=0，1，
则f（x）=x²；
（2）g（x）=f（x）-2ax+1=x²-2ax+1=（x-a）²+1-a²，x∈[-2，1]，
当a＞1时，[-2，1]在对称轴的左边，则为减区间，则最小值为f（1）=2-2a；
当-2≤a≤1，最小值为f（a）=1-a²；
当a＜-2时，[-2，1]在对称轴的右边，则为增区间，则最小值为f（-2）=5+4a．
即有h（a）=

5+4a，a＜-2 1-a2，-2≤a≤1 2-2a，a＞1

；
（3）当a＞1时，h（a）＜0；
当-2≤a≤1，-3≤h（a）≤1，
当a＜-2时，h（a）＜-3．
则当a=0时，h（a）最大且为1．

点评：本题考查幂函数的性质，考查二次函数在闭区间上的最值，注意讨论对称轴和区间的关系，属于中档题和易错题．