Question

如图，⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，过点A作⊙O₁的切线交⊙O₂于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O₁、⊙O₂于点D、E，DE与AC相交于点P．
(1)求证：AD∥EC；
(2)若AD是⊙O₂的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长。

Answer 1

(1)证明：连接AB，
∵AC是⊙O₁的切线，
∴∠BAC=∠D，
又∵∠BAC=∠E，
∴∠D=∠E，∴AD∥EC。
(2)解：∵PA是⊙O₁的切线，PD是⊙O₁的割线，
∴PA²=PB·PD，∴6²=PB·（PB+9），∴PB=3，
又⊙O₂中由相交弦定理，得PA·PC=BP·PE，
∴PE=4，
∵AD是⊙O₂的切线，DE是⊙O₂的割线，
∴AD²=DB·DE=9×16，∴AD=12。