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2.如图1.在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,AB=2CD,DE⊥AB,沿DE将△AEDD折起到△A1ED的位置,连结A1B,A1C,M,N分别为A1C,BE的中点.如图2.
(I )求证:DE丄A1B
(Ⅱ)求证:MN∥平面A1ED
(Ⅲ)在棱A1B上是否存在一点G.使得EG丄平面A1BC?若存在,求出 $\frac{{A}_{1}G}{GB}$的值:若不存在.说明理由.

分析 (Ⅰ)推导出DE⊥A1E,DE⊥BE,从而DE⊥平面A1BE,由此能证明DE丄A1B.
(Ⅱ)取CD中点E,连结NE,ME,推导出平面A1DE∥平面MNE,由此能证明MN∥平面A1ED.
(Ⅲ)取A1B的中点G,连结EG,推导出EG⊥A1B,EG⊥BC,从百求出棱A1B上存在中点G.使得EG丄平面A1BC,此时$\frac{{A}_{1}G}{GB}$=1.

解答 证明:(Ⅰ)∵在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,AB=2CD,DE⊥AB,
沿DE将△AEDD折起到△A1ED的位置,
∴DE⊥A1E,DE⊥BE,
∵A1E∩BE=E,∴DE⊥平面A1BE,
∵A1B?平面A1BE,∴DE丄A1B.
(Ⅱ)取CD中点E,连结NE,ME,
∵M,N分别为A1C,BE的中点,
∴ME∥A1D,NE∥DE,
又DE∩A1D=D,NE∩ME=E,DE,A1D?平面A1DE,NE,ME?平面MNE,
∴平面A1DE∥平面MNE.
∴MN∥平面A1ED.
(Ⅲ)取A1B的中点G,连结EG,
∵A1E=BE,∴EG⊥A1B,
由(Ⅰ)知DE⊥平面A1BE,∵DE∥BC,∴BC⊥平面A1BE,
∴EG⊥BC,
又A1B∩BC=B,∴EG⊥平面A1BC.
故棱A1B上存在中点G.使得EG丄平面A1BC,此时$\frac{{A}_{1}G}{GB}$=1.

点评 本题考查线线垂直的证明,考查线面平行的证明,考查满足线面垂直的点的位置的确定与求法,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查转化化归思想、数形结合思想,是中档题.

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