Question

已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是（0，-1），（0，1），且AC，BC所在直线的斜率之积等于m（m≠0）．
（1）求顶点C的轨迹E的方程，并判断轨迹E为何种圆锥曲线；
（2）当m=-

1

2

时，过点F（1，0）的直线l交曲线E于M，N两点，设点N关于x轴的对称点为Q（M，Q不重合） 试问：直线MQ与x轴的交点是否为定点？若是，求出定点，若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设出顶点C的坐标，由AC，BC所在直线的斜率之积等于m（m≠0）列式整理得到顶点C的轨迹E的方程，然后分m的不同取值范围判断轨迹E为何种圆锥曲线；
（2）把m=-

1

2

代入E得轨迹方程，由题意设出直线l的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数关系求出M，N两点的横坐标的和与积，由两点式写出直线MQ的方程，取y=0后求出x，结合根与系数关系可求得x=2，则得到直线MQ与x轴的交点是定点，并求出定点．

解答：解：（1）设点C（x，y），由AC，BC所在直线的斜率之积等于m（m≠0），
得：

y-1

x

•

y+1

x

=m，化简得：-mx²+y²=1（x≠0）．
当m＜-1时，轨迹E表示焦点在y轴上的椭圆，且除去（0，1），（0，-1）两点；
当m=-1时，轨迹E表示以（0，0）为圆心，半径是1的圆，且除去（0，1），（0，-1）两点；
当-1＜m＜0时，轨迹E表示焦点在x轴上的椭圆，且除去（0，1），（0，-1）两点；
当m＞0时，轨迹E表示焦点在y轴上的双曲线，且除去（0，1），（0，-1）两点．
（2）当m=-

1

2

时，曲线E的方程为

x2

2

+y2=1 (x≠0)．
由题意可知直线l的斜率存在切不等于0，则可设l：y=k（x-1），
再设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x₂，-y₂） （x₁≠x₂）．
联立

y=k(x-1) x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．
∴x1+x2=

4k2

1+2k2

，x1x2=

2k2-2

1+2k2

，
∵M，Q不重合，则x₁≠x₂，y₁≠-y₂．
∴MQ所在直线方程为y-y1=

y1+y2

x1-x2

(x-x1)，
令y=0，得x=x1+

y1(x2-x1)

y1+y2

=x1+

k(x1-1)(x2-x1)

k(x1+x2-2)

=

2x1x2-(x1+x2)

x1+x2-2

=

2• 2k2-2 1+2k2 - 4k2 1+2k2

4k2 1+2k2 -2

=2．
∴直线MQ过定点（2，0）．

点评：本题考查了与直线有关的动点轨迹方程，考查了椭圆的简单几何性质，考查了分类讨论的数学思想方法，涉及直线和圆锥曲线的关系问题，常采用一元二次方程的根与系数关系求解，从而简化解题过程，此类问题是高考试题中的压轴题．