已知函数f(x)=2lnx-x.
(1)写出函数f(x)的定义域,并求其单调区间;
(2)已知曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线是y=kx-2,求k的值.
分析:(1)先确定函数的定义域然后求导数fˊ(x),在函数的定义域内解不等式fˊ(x)>0和fˊ(x)<0,求出单调区间.
(2)先求出在x=x0处的导数,求出切线的斜率,又过点(x0,f(x0))求出切线方程,利用所求切线与y=kx-2是同一直线,建立等量关系,求出k即可.
解答:
解:(Ⅰ)函数y=f(x)的定义域为:(0,+∞).(1分)
∵f(x)=2lnx-x,∴
f′(x)=-1.
令f'(x)=0,则x=2.(3分)
当x在(0,+∞)上变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表
∴函数y=f(x)的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(2,+∞).(6分)
(Ⅱ)由题意可知:f(x
0)=2lnx
0-x
0,(7分)
曲线y=f(x)在点(x
0,f(x
0))处的切线的斜率为
k=f′(x0)=-1.(8分)
∴切线方程为:
y-f(x0)=(-1)(x-x0).(9分)
∴
y-(2lnx0-x0)=(-1)(x-x0).
∴
y=(-1)x+2lnx0-2.(10分)
∵切线方程为y=kx-2,
∴2lnx
0-2=-2.
∴x
0=1.
∴曲线y=f(x)在点(x
0,f(x
0))处的切线的斜率
k=-1=1.(13分)
点评:本小题主要考查函数的导数,单调性,曲线某点处的切线等基础知识,考查利用数学知识分析问题、解决问题的能力.