【题目】已知数列{an}的前n项和Sn满足2an=2+Sn．
（1）求证：数列{an}是等比数列；
（2）设bn=log2a2n+1，求数列{bn}的前n项和Tn．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
（1）运用数列的递推式和等比数列的定义，即可得证；
（2）运用等比数列的通项公式和等差数列的求和公式，计算即可得到所求和．
（1）证明：数列{an}的前n项和Sn满足2an=2+Sn，
可得2a1=2+S1=2+a1，解得a1=2；
n≥2时，2an-1=2+Sn-1，又2an=2+Sn，
相减可得2an-2an-1=2+Sn-2-Sn-1=an，
即an=2an-1，可得数列{an}是首项、公比均为2的等比数列；
（2）由（1）可得an=2n，
bn=log2a2n+1=log222n+1=2n+1，
数列{bn}的前n项和Tn=
（3+2n+1）n=n2+2n．
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【题目】已知抛物线
：
，点
为直线
上任一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为
，
，
（1）证明，，三点的纵坐标成等差数列；
（2）已知当点坐标为
时，
，求此时抛物线的方程；
（3）是否存在点，使得点
关于直线
的对称点
在抛物线上，其中点满足
，若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由.
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【题目】已知某运动员每次投篮命中的概率都是40%．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有一次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5，6 ,7 ,8 ,9 ,0表示不命中；再以每三个随机数作为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907, 966, 191, 925, 271, 932, 812，458, 569, 683, 431, 257, 393, 027, 556, 488, 730, 113, 537, 989．据此估计，该运动员三次投篮恰有一次命中的概率为 （ ）
A. 0．25 B. 0．2 C. 0．35 D. 0．4
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【题目】设椭圆C：
的两个焦点是
和
，且椭圆C与圆
有公共点．
（1）求实数a的取值范围；
（2）若椭圆C上的点到焦点的最短距离为
，求椭圆C的方程；
（3）对（2）中的椭圆C，直线l：
与C交于不同的两点M、N，若线段MN的垂直平分线恒过点
，求实数m的取值范围．
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【题目】如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=
，AC=2，∠BAC=∠A1AC=45°，∠BAA1=60°，F为棱AC的中点，E在棱BC上，且BE=2EC．
（Ⅰ）求证：A1B∥平面EFC1；
（Ⅱ）求三棱柱ABC-A1B1C1的体积．
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【题目】将两块三角板按图甲方式拼好，其中
， 
， 
，
，现将三角板
沿
折起，使
在平面
上的射影
恰好在
上，如图乙．
（1）求证： 
；
（2）求证： 
为线段
中点；
（3）求二面角
的大小的正弦值．
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【题目】越接近高考学生焦虑程度越强，四个高三学生中大约有一个有焦虑症，经有关机构调查，得出距离高考周数与焦虑程度对应的正常值变化情况如下表周数
周数x | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1. |
正常值y | 55 | 63 | 72 | 80 | 90 | 99 |
其中
，
，
，
（1）作出散点图；
（2）根据上表数据用最小二乘法求出y关于x的线性回方程
（精确到0.01）
（3）根据经验观测值为正常值的0.85～1.06为正常，若1.06～1.12为轻度焦虑，1.12～1.20为中度焦虑，1.20及以上为重度焦虑。若为中度焦虑及以上，则要进行心理疏导。若一个学生在距高考第二周时观测值为103，则该学生是否需要进行心理疏导？
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【题目】已知函数
.
（Ⅰ）求函数
的极值点；
（Ⅱ）若直线
过点
，并且与曲线
相切，求直线的方程；
（Ⅲ）设函数
，其中
，求函数
在区间
上的最小值.（其中
为自然对数的底数）
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【题目】某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）从第几年开始，该设备开始盈利？
（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．
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