Question

（（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD，底面为直角梯形，，且AD=2，AB=BC=1，PA=
（Ⅰ）设M为PD的中点，求证：平面PAB；
（Ⅱ）若二面角B—PC—D的大小为150°，求此四棱锥的体积.

Answer 1

解法一：（Ⅰ）证明：取PA的中点N，连结BN、NM，

在△PAD中，，且；
又，且，
所以MNBC，即四边形BCMN为平行四边形，.
又平面PAB，平面PAB，故平面PAB.   ……5分
（Ⅱ）如图，连结AC，则二面角B—PC—D的大小等于二面角B—PC—A的大小与二面角D—PC—A的大小的和. 由知，又，所以平面PAC，即平面P平面PAC，所以二面角D—PC—A的大小为90°. 于是二面角B—PC—A的大小为60°，过B作于E，过E作于F，连结BF，由三垂线定理知为二面角B—PC—A的平面角.                                               ……9分
在Rt△ABC中，，又易知△PBC为Rt△，且，
∴，解得                    ……11分
所以四棱锥P—ABCD的体积为                 ……12分

解法二：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，）.   ……2分
（Ⅱ）由M为PD中点知M的坐标为（0，1，），所以.
又平面PAB的法向量可取为，而，即.
又平面PAB，所以平面PAB.                                 ……6分
（Ⅱ）设平面PBC的法向量为.
∵ ∴
不妨取，则，∴                            
又设平面PCD的法向量为.
∵ ∴ 
不妨取，则 ∴.                     ……9分
由的方向可知，解得．   ……11分
所以四棱锥P—ABCD—体积为．                  ……12分

略