Question

例2：若等比数列{a_n}的前n项之和为A，前n项之积为B，各项倒数的和为C，求证：B2=

An

Cn

．

Answer 1

分析：先设此等比数列的首项为a₁，公比为q．分当q=1和q≠1时，用a₁分别表示出S，C和B，进而得证B2=

An

Cn

．

解答：解：设此等比数列的首项为a₁，公比为q
若q=1，则S=na₁，C=

n

a1

，B=a₁ⁿ，所以B²=a₁²ⁿ，

An

Cn

=a₁²ⁿ所以左边等于右边
若q≠1，则S=

a1(qn-1)

q-1

，C=

(1- 1 q n)

a1(1- 1 q )

=

qn

a1[qn-qn-1-1]

，B=a₁ⁿq^{[n（n-1）/2]}
所以

An

Cn

=[a₁²q^n-1]ⁿ=a₁²ⁿq^[n（n-1）]
B²=a₁²ⁿq^[n（n-1）]
所以B2=

An

Cn

点评：本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．