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设等比数列{an}的前n项和Sn,首项a1=1,公比q=f(λ)=
λ
1+λ
(λ≠-1,0)

(Ⅰ)证明:Sn=(1+λ)-λan
(Ⅱ)若数列{bn}满足b1=
1
2
,bn=f(bn-1)(n∈N*,n≥2),求数列{bn}的通项公式;
(Ⅲ)若λ=1,记cn=an(
1
bn
-1)
,数列{cn}的前项和为Tn,求证:当n≥2时,2≤Tn<4.
分析:(Ⅰ)先求等比数列{an}的前n项和Sn,再表达出an=(
λ
1+λ
)
n-1
,故可证;
(II)先求出bn,再进一步变形,判断出 {
1
bn
}
是等差数列,根据等差数列的通项公式求出{bn}的通项公式;
(III)先求出Cn,再由错位相减法求出该数列的前n项和为Tn
解答:解:(Ⅰ)证明:Sn=
a1(1-qn)
1-q
=
a1[1-(
λ
1+λ
)
n
]
1-
λ
1+λ
=(1+λ)[1-(
λ
1+λ
)n]=(1+λ)-λ(
λ
1+λ
)n-1

an=a1(
λ
1+λ
)n-1=(
λ
1+λ
)n-1
所以Sn=(1+λ)-λan(4分)
(Ⅱ)f(λ)=
λ
1+λ
,∴bn=
bn-1
1+bn-1
,∴
1
bn
=
1
bn-1
+1
,(6分)

{
1
bn
}
是首项为
1
b1
=2
,公差为1的等差数列,
1
bn
=2+(n-1)=n+1
,即bn=
1
n+1
.(8分)

(Ⅲ)λ=1时,an=(
1
2
)n-1
,∴cn=an(
1
bn
-1)=n(
1
2
)n-1
(9分)
Tn=1+2(
1
2
)+3(
1
2
)2++n(
1
2
)n-1
1
2
Tn=
1
2
+2(
1
2
)2+3(
1
2
)3++n(
1
2
)n

相减得∴
1
2
Tn=1+(
1
2
)+(
1
2
)2++(
1
2
)n-1-n(
1
2
)n=2[1-(
1
2
)n]-n(
1
2
)n

Tn=4-(
1
2
)n-2-n(
1
2
)n-1<4
,(12分)
又因为cn=n(
1
2
)n-1>0
,∴Tn单调递增,
∴Tn≥T2=2,故当n≥2时,2≤Tn<4.(13分)
点评:本题是数列的综合题,考查等差数列、等比数列的通项公式,涉及了错位相减法求数列的前n项和,考查了分析问题和解决问题的能力.
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设等比数列{an}的前n项和为Sn,若8a2+a5=0,则下列式子中数值不能确定的是(  )
A、
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a3
B、
S5
S3
C、
an+1
an
D、
Sn+1
Sn

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21

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S6
S3
=3,则
S9
S6
=(  )
A、
1
2
B、
7
3
C、
8
3
D、1

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设等比数列{an}的前n 项和为Sn,若
S6
S3
=3,则
S9
S3
=
7
7

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