分析:(Ⅰ)先求等比数列{a
n}的前n项和S
n,再表达出
an=()n-1,故可证;
(II)先求出b
n,再进一步变形,判断出
{}是等差数列,根据等差数列的通项公式求出{b
n}的通项公式;
(III)先求出C
n,再由错位相减法求出该数列的前n项和为T
n.
解答:解:(Ⅰ)证明:
Sn===(1+λ)[1-()n]=(1+λ)-λ()n-1而
an=a1()n-1=()n-1所以S
n=(1+λ)-λa
n(4分)
(Ⅱ)
f(λ)=,∴
bn=,∴
=+1,(6分)
∴
{}是首项为
=2,公差为1的等差数列,
=2+(n-1)=n+1,即
bn=.(8分)
(Ⅲ)λ=1时,
an=()n-1,∴
cn=an(-1)=n()n-1(9分)
∴
Tn=1+2()+3()2++n()n-1∴
Tn=+2()2+3()3++n()n相减得∴
Tn=1+()+()2++()n-1-n()n=2[1-()n]-n()n∴
Tn=4-()n-2-n()n-1<4,(12分)
又因为
cn=n()n-1>0,∴T
n单调递增,
∴T
n≥T
2=2,故当n≥2时,2≤T
n<4.(13分)
点评:本题是数列的综合题,考查等差数列、等比数列的通项公式,涉及了错位相减法求数列的前n项和,考查了分析问题和解决问题的能力.